题目内容

设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，且对于所有自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.

（1）求出{an}的前三项；

（2）求出{an}的通项.

（1）,

a1+2=2 (a1+2)2=8a1,

a12+4a1+4=8a1a12-4a1+4=0,

∴a1=2a2=6或a2=-2（舍）,a3=10或a3=-6（舍）.

∴a1=2,a2=6,a3=10.

(2)(an+2)2=8Sn,

(an+1+2)2=8Sn+1.

相减得8an+1=(an+1+2)2-(an+2)2

 -4an+1-an2-4an=0an+12-an2-4(an+1+an)=0 (an+1+an)(an+1-an-4)=0.

∵an+1+an≠0,∴an+1-an=4.

∴{an}是d=4的等差数列.又a1=2,

∴an=2+(n-1)·4=4n-2.

练习册系列答案
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设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项．
（1）写出数列{an}的前3项；
（2）求数列{an}的通项公式（写出推证过程）；
（3）令bn=
1
2
(
an+1
an
+
an
an+1
)(n∈N)，求
lim
n→∞
(b1+b2+…+bn-n)．
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（1）写出数列{an}的前3项；
（2）求数列{an}的通项公式（写出推证过程）；
（3）设bn=
4
an•an+1
，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜
m
20
对所有n∈N+都成立的最小正整数m的值．
（2006•东城区二模）设{an}是正数组成的等比数列，a1+a2=1，a3+a4=4，则a4+a5=
8
8
．
设{an } 是正数组成的数列，其前n项和为Sn，，所有的正整数n，满足
an+2
2
=
2S n

（1）求a1、a2、a3；    
（2）猜想数列{an }的通项公式，并用数学归纳法证明．

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