Question

已知函数f(x)=lnx-

a(x-1)

x

(a＞0)．
（1）求f（x）的最小值；
（2）证明：不等式

1

lnx

-

1

2

＜

1

x-1

对一切x＞1恒成立．

Answer 1

分析：（1）求导函数，确定函数的单调性，从而可求f（x）的最小值；
（2）只需证明

1

lnx

＜

1

x-1

+

1

2

，即证lnx＞

2(x-1)

x+1

，构造g（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

，确定其单调性，可得结论．

解答：（1）解：∵f(x)=lnx-

a(x-1)

x

(a＞0)，∴f′(x)=

x-a

x2

∴f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增
∴f（x）的最小值为f（a）=lna+1-a；
（2）证明：只需证明

1

lnx

＜

1

x-1

+

1

2

，即证lnx＞

2(x-1)

x+1

令g（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

，则g′（x）=

(x-1)2

x(x+1)2

＞0
∵x＞1，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴g（x）＞g（1）=0，∴lnx＞

2(x-1)

x+1

故原不等式成立．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，确定函数的单调性是关键．