题目内容
已知抛物线C的方程为x2=2py（p＞0），过抛物线上点M（-2
，p）作△MAB，A、B两均在抛物线上．过M作x轴的平行线，交抛物线于点N．（I）若MN平分∠AMB，求证：直线AB的斜率为定值；
（II）若直线AB的斜率为
，且点N到直线MA，MB的距离的和为4p，试判断△MAB的形状，并证明你的结论．
【答案】分析：（1）由
在x2=2py（p＞0）上可求P，可设直线MA的斜率为k，则直线MB的斜率为-k，则直线MA的方程为
，联立
可得
，则
同理可得，
由
可求
（2）同（1）可知
，
，
=
，由条件
知KMA=-KMB结合已知可得，KMA•kMB=-1，从而可判断
解答：解：（1）∵
在x2=2py（p＞0）上
∴4p=2p2，可得p=2
可设直线MA的斜率为k，则直线MB的斜率为-k
则直线MA的方程为
联立
可得
则xM+xA=4k即
同理可得，
∴
=
=
（2）同（1）可知
，
则
=
，
由条件
知KMA=-KMB即直线MA、MB关于MN对称
则点
到直线MA或MB的距离
由点到直线的距离公式可得kMA2=kMB2=1
∴KMA•kMB=-1∴
∴△MAB为Rt△
点评：本题考查抛物线性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，方程的根与系数的关系的应用，直线的斜率公式的应用，综合的知识较多，计算量较大，这也是圆锥曲线的常考的试题．
在x2=2py（p＞0）上可求P，可设直线MA的斜率为k，则直线MB的斜率为-k，则直线MA的方程为，联立可得，则同理可得，
由可求（2）同（1）可知
，，=，由条件知KMA=-KMB结合已知可得，KMA•kMB=-1，从而可判断解答：解：（1）∵
在x2=2py（p＞0）上∴4p=2p2，可得p=2
可设直线MA的斜率为k，则直线MB的斜率为-k
则直线MA的方程为
联立
可得则xM+xA=4k即
同理可得，
∴
==（2）同（1）可知
，则
=，由条件
知KMA=-KMB即直线MA、MB关于MN对称则点
到直线MA或MB的距离由点到直线的距离公式可得kMA2=kMB2=1
∴KMA•kMB=-1∴
∴△MAB为Rt△
点评：本题考查抛物线性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，方程的根与系数的关系的应用，直线的斜率公式的应用，综合的知识较多，计算量较大，这也是圆锥曲线的常考的试题．
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