题目内容
已知二次函数f（x）满足f（0）=3，f（3）=f（-1）=0．
（1）求函数f（x）的解析式，并求函数f（x）的单调区间；
（2）若x∈[-2，5），求函数的值域．
（1）求函数f（x）的解析式，并求函数f（x）的单调区间；
（2）若x∈[-2，5），求函数的值域．
分析：（1）利用条件f（0）=3，f（3）=f（-1）=0，建立方程关系，求解a，b，c即可．
（2）将二次函数进行配方，结合函数的图象，得到函数的值域．
（2）将二次函数进行配方，结合函数的图象，得到函数的值域．
解答：解：（1）依题意设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），
因为f（0）=3，f（3）=f（-1）=0，
所以c=3，f（3）=9a+3b+3=0，f（-1）=a-b+3=0．
解得 a=-1，b=2，c=3．
所以函数解析式为f（x）=-x2+2x+3．对称轴x=1，
所以函数增区间为（-∞，1]，减区间为[1，+∞）．
（2）由（1）得函数f（x）=-x2+2x+3图象关于直线x=1对称f（1）=4，
f（-2）=-5，f（5）=-12
所以若x∈[-2，5），函数的值域为（-12，4]．
因为f（0）=3，f（3）=f（-1）=0，
所以c=3，f（3）=9a+3b+3=0，f（-1）=a-b+3=0．
解得 a=-1，b=2，c=3．
所以函数解析式为f（x）=-x2+2x+3．对称轴x=1，
所以函数增区间为（-∞，1]，减区间为[1，+∞）．
（2）由（1）得函数f（x）=-x2+2x+3图象关于直线x=1对称f（1）=4，
f（-2）=-5，f（5）=-12
所以若x∈[-2，5），函数的值域为（-12，4]．
点评：本题主要考查利用待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的图象和性质．
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