Question

某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组.在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本.试确定

（1）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；

（2）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.

Answer 1

分析:考虑到参加活动的职工差异比较明显,所以应将全体参加活动的职工合理分层,再从各层中按比例抽取入样人数.为此需先计算出青年人、中年人、老年人分别所占的比例.

解:（1）设登山组人数为x，则游泳组人数为3x，假设游泳组中青年人、中年人、老年人所占比例分别为a、b、c，则有

中年人：=47.5%，

老年人：=10%，

解得b=50%，c=10%.

故a=100%-50%-10%=40%,即游泳组中，青年人、中年人、老年人所占比例分别为40%、50%、10%.

（2）游泳组中，抽取的青年人数为200××40%=60（人）；

抽取的中年人数为200××50%=75（人）；

抽取的老年人数为200××10%=15（人）.

黑色陷阱

    解答该题的关键是第（1）问，最容易出现的错误是不能正确运用变量将登山组人数和青年人、中年人、老年人所占比例数表示出来，必会导致表达混乱，直至出错.其根本原因在于没有正确地阅读和理解题意，找不出解决问题的入手点.合理的解题方案是弄懂题意后，选择登山组人数（设为x）为出发点，进而可表示出参加活动的全体职工数（4x），那么“在参加活动的职工中，中年人占47.5%，老年人占10%”才能转化为相应的数学表达式，并由此求出游泳组中青年人、中年人、老年人各占的比例.