Question

已知函数f(x)=

a(x-1)2+1

x+b-1

的图象过点（2，2），它向左平移1个单位后所得的图象关于原点成中心对称．
（1）求f（x）的表达式；        （2）求函数f（x） 的单调区间．

Answer 1

分析：（1）由f（2）=2可得a=2b+2=1，由g（x）=f（x+1）=

ax2+1

x+b

得图象关于原点成中心对称．可得函数g（x）为奇函数，则g（-x）=-g（x），可求b，进而可求a，及函数的解析式
（2）由f(x)=

(x-1)2+1

x-1

，利用导数判断函数的单调区间

解答：解：（1）由题意可得，f(2)=

a+1

1+b

=2
∴a+1=2（1+b）即a=2b+1
函数f（x）向左平移1个单位后所得的函数g（x）=f（x+1）=

ax2+1

x+b

得图象关于原点成中心对称．
∴函数g（x）为奇函数，则g（-x）=-g（x）
∴

a(-x)2+1

-x+b

=-

ax2+1

x+b

即-x+b=-x-b
∴b=0，a=1
∴f(x)=

(x-1)2+1

x-1

 
（2）∵f(x)=

(x-1)2+1

x-1

=

x2-2x+2

x-1

∴f′(x)=

(2x-2)(x-1)-(x2-2x+2)

(x-1)2

=

x(x-2)

(x-1)2

当x＞2或x＜0时，f′（x）＞0函数单调递增
当0＜x＜2且x≠1时，f′（x）＜0函数单调递减
∴函数的增区间为（2，+∞），（-∞，0）；减区间为（1，2），（0，1）

点评：本题主要考查了利用函数的性质的应用，函数的图象平移法则的应用，函数的解析式的解析式的求解，对号函数单调性的应用．