题目内容

定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x3．
（1）求f（x）在[1，5]上的表达式；
（2）若A={x|f（x）＞a，x∈R}，且A≠，求实数a的取值范围．

解：（1）由f（x+2）=﹣f（x），
∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
故f（x）的周期为4
（1）当x∈[3，5]时，x﹣4∈（﹣1，1]，
∴f（x﹣4）=（x﹣4）3
又T=4，
∴f（x）=f（x﹣4）=（x﹣4）3，
3≤x≤5
当x∈[1，3]时，x﹣2∈[﹣1，1]，
∴f（x﹣2）=（x﹣2）3
又f（x）=﹣f（x﹣2）=﹣（x﹣2）3，1≤x≤3，
故f（x）=
（2）∵f（x）是周期函数，
∴f（x）的值域可以从一个周期来考虑
x∈[1，3]时，f（x）∈（﹣1，1]
x∈[3，5]时，f（x）∈[﹣1，1]
∴f（x）＞a，对x∈R有空解，
∴a＜1

练习册系列答案
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定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，
π
2
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5π
3
）的值为
 
．
20、已知定义在R上的函数f（x）=-2x3+bx2+cx（b，c∈R），函数F（x）=f（x）-3x2是奇函数，函数f（x）在x=-1处取极值．
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1-f(x)1+f(x)
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．
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π
2
），最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，函数y=sin（2x+
π
3
）图象所有对称中心都在f（x）图象的对称轴上．
（1）求f（x）的表达式；    
（2）若f（
x0
2
）=
3
2
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π
2
，
π
2
]），求cos（x0-
π
3
）的值．
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