Question

已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，其前n项和为S_n，且满足a₂•a₃=45，a₁+a₄=14．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）通过bn=

Sn

n+c

构造一个新的数列{b_n}，是否存在一个非零常数c，使{b_n}也为等差数列；
（3）求f(n)=

bn

(n+2009)•bn+1

(n∈N+)的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用通项公式，建立关于a₁，d 的方程组，并解出a₁，d 可求通项公式．
（2）写出bn的表达式，根据等差数列通项公式特点：关于n的一次函数形式，确定是否存在．
（3）研究f（n）的函数性质，结合分式形式，考虑用基本不等式法求最值．

解答：解：（1）∵等差数列{a_n}中，公差d＞0，
∴

a2•a3=45 a1+a4=14

⇒

a2•a3=45 a2+a3=14

⇒

a2=5 a3=9

⇒d=4⇒an=4n-3．
（2）Sn=

n(1+4n-3)

2

=2n(n-

1

2

)，bn=

Sn

n+c

=

2n(n- 1 2 )

n+c

，
令c=-

1

2

，即得b_n=2n，数列{b_n}为等差数列，
∴存在一个非零常数c=-

1

2

，使{b_n}也为等差数列．
（3）f(n)=

bn

(n+2009)•bn+1

=

n

(n+2009)(n+1)

=

1

n+ 2009 n +3000

＜

1

2 2009 +3000

，
∵1936＜2009＜2025⇒44＜

2009

＜45，
∵n∈N⁺，
∴n=45时，f(n)=

1

n+ 2009 n +3000

有最大值

45

2054×46

．

点评：本题考查等差数列的定义，通项公式，数列的函数性质，考查分析解决问题、计算的能力．