题目内容

已知函数 $数学公式$ ，x∈R，a∈R．
（Ⅰ）若f′（0）=-2，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在（1，2）上单调递增，求a的取值范围．

解：（Ⅰ）∵ $\text{[math]}$ ，∴f^′（x）=x²+（a+2）x+a．

∵f^′（0）=-2，∴a=-2．
∴ $\text{[math]}$ ，f^′（x）=x²-2．
令f^′（x）=0，解得 $\text{[math]}$ ．
列表如下：
由表格可以看出：当 $\text{[math]}$ 时，f（x）_极大值= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
当x= $\text{[math]}$ 时，f（x）_极小值= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）∵函数f（x）在（1，2）上单调递增，
∴f^′（x）=x²+（a+2）x+a≥0在区间（1，2）上恒成立．
亦即 $\text{[math]}$ 在区间（1，2）上恒成立．
令g（x）=- $\text{[math]}$ ，则g^′（x）=- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ＜0，
∴函数g（x）在x∈（1，2）上为减函数，而函数g（x）在x=1时连续，
∴g（x）＜g（1）=- $\text{[math]}$ ．
故a $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）先对函数f（x）求导，再令x=0，即可求出a的值；
（Ⅱ）函数f（x）在（1，2）上单调递增?f^′（x）≥0在x∈（1，2）上恒成立? $\text{[math]}$ 在区间（1，2）上恒成立?a≥ $\text{[math]}$ ，x∈（1，2），解出即可．
点评：利用导数求函数的单调区间、极值、恒成立问题是最有效的方法之一，必须熟练掌握．