Question

函数f（x）=x³-ax²+的极值点是x₁，x₂，函数g（x）=x-alnx的极值点是x₀，若x₀+x₁+x₂＜2．
（I ）求实数a的取值范围；
（II）若存在实数a，使得对?x₃，x₄∈[1，m]，不等式f（x₃）≤g（x₄）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（I ）∵函数f（x）=x³-ax²+的极值点是x₁，x₂，，
∴，x₁，x₂是方程的两个根，
∴，x₁+x₂=a，
∵g（x）=x-alnx的极值点是x₀，
∴，（x＞0）．
当a≤0时，g′（x）＞0，函数无极值点．
当a＞0，x∈（0，a），g′（x）＜0；当x∈（a，+∞），g′（x）＞0，
函数的极值点x₀=a．
∵x₀+x₁+x₂＜2．
∴，
∴．
（II）∵，
∴g（x）在[1，m]上为增函数，
∴g（x）_min=g（1）=1．
导函数f′（x）的对称轴为x=，，
∴x₁，x₂都是小于1的正数，
∵f′（x）=（x-x₁）（x-x₂），令x₁＜x₂，
∵，
∴f（x）在[1，m]上为增函数，
∴，
∴，
即-27m²a+18m³+4m≤0，
∵m＞1，令h（a）在（）为减函数，
∴h（1）＜0，即18m³-27m²+4m＜0，
解得，
∴．
分析：（I ）由，x₁，x₂是方程的两个根，，x₁+x₂=a，由，（x＞0）．知当a≤0时，g′（x）＞0，函数无极值点．当a＞0，x∈（0，a），g′（x）＜0；当x∈（a，+∞），g′（x）＞0，函数的极值点x₀=a．由此能求出实数a的取值范围．
（II）由，知g（x）在[1，m]上为增函数，故g（x）_min=g（1）=1．导函数f′（x）的对称轴为x=，由此入手能够求出实数m的取值范围．
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．