Question

（2013•兰州一模）已知函数f（x）=

1

2

x2+2ex，g（x）=3e²lnx+b（x∈R⁺，e为常数，e=2.71828），且这两函数的图象有公共点，并在该公共点处的切线相同．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）若x∈（0，1]时，证明：2[f（x）-2ex]+

1

3e2

[2g（x）+e²]≤4x-3恒成立．

Answer 1

分析：（I）求导数，利用这两函数的图象有公共点，并在该公共点处的切线相同，建立方程组，即可求实数b的值；
（Ⅱ）要证x∈（0，1]时，x²+2lnx≤4x-3恒成立，即证x∈（0，1]时，x²-4x+3+2lnx≤0恒成立，构造函数，确定函数的单调性，即可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：求导数可得：f'（x）=x+2e，g′（x）=

3e2

x

，
设f（x）=

1

2

x2+2ex与g（x）=3e²lnx+b的公共点为（x₀，y₀），则有

1 2 x02+2ex0=3e2lnx0+b x0+2e= 3e2 x0 x0＞0

 …（3分）
解得b=-

e2

2

．…（5分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知g(x)=3e2lnx-

e2

2

．
所以2[f（x）-2ex]+

1

3e2

[2g（x）+e²]=x²+2lnx．
∴要证x∈（0，1]时，x²+2lnx≤4x-3恒成立，
即证x∈（0，1]时，x²-4x+3+2lnx≤0恒成立．…（8分）
设h（x）=x²-4x+3+2lnx（0＜x≤1），则h′(x)=

2(x-1)2

x

．
∵x∈（0，1]，∴h′（x）≥0（仅当x=1时取等号）．
∴h（x）=x²-4x+3+2lnx在x∈（0，1]上为增函数．…（11分）
∴h（x）_max=h（1）=0．
∴x∈（0，1]时，2[f（x）-2ex]+

1

3e2

[2g（x）+e²]≤4x-3恒成立．…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．