题目内容

已知函数f（x）=e^x- $数学公式$ ，（其中a∈R．无理数e=2.71828…）
（Ⅰ）若a=- $数学公式$ 时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当x $数学公式$ 时，若关于x的不等式f（x）≥0恒成立，试求a的最大值．

解：（Ⅰ）a=- $\text{[math]}$ 时，函数f（x）=e^x- $\text{[math]}$ ，求导数可得f′（x）=e^x-x+ $\text{[math]}$
∴f′（1）=e- $\text{[math]}$ ，f（1）=e-1
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-（e-1）=（e- $\text{[math]}$ ）（x-1），即（e- $\text{[math]}$ ）x-y- $\text{[math]}$ =0；
（Ⅱ）由f（x）≥0得ax≤e^x- $\text{[math]}$ x²-1，因为x $\text{[math]}$ ，所以a≤ $\text{[math]}$ ．
令g（x）= $\text{[math]}$ ，则g′（x）= $\text{[math]}$ ．
令h（x）=e^x（x-1）- $\text{[math]}$ x²+1，所以h′（x）=x（e^x-1）．
因为x $\text{[math]}$ ，所以h′（x）＞0，所以h（x）在[ $\text{[math]}$ ，+∞）上单调增
所以h（x）≥h（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＞0
所以g′（x）＞0
∴g（x）在[ $\text{[math]}$ ，+∞）上单调增
∴g（x）≥g（ $\text{[math]}$ ）=2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
∴a≤2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
∴a的最大值为2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）求导数，求得切线的斜率，再利用点斜式，可得切线方程；
（Ⅱ）由f（x）≥0，分离参数可得a≤ $\text{[math]}$ ，确定右边所对应函数的单调性，求出其最小值，即可求得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，正确构建函数是关键．