Question

设函数，
（1）求证：不论a为何实数f（x）总为增函数；
（2）确定a的值，使f（x）为奇函数及此时f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）∵f（x）的定义域为R，任设x₁＜x₂，化简f（x₁）-f（x₂）到因式乘积的形式，判断符号，得出结论．
（2）由f（-x）=-f（x），解出a的值，进而得到函数的解析式：．
由 2^x+1＞1，可得函数的值域．
解答：解：（1）∵f（x）的定义域为R，设 x₁＜x₂，
则=，
∵x₁＜x₂，∴，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以不论a为何实数f（x）总为增函数．
（2）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），
即，
解得：a=1．∴．
∵2^x+1＞1，∴，
∴，∴
所以f（x）的值域为（-1，1）．
点评：本题考查证明函数的单调性的方法、步骤，利用奇函数的定义求待定系数的值，及求函数的值域．