Question

已知数列{a_n}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N^*，且{a_n}中任意两项之和也是该数列中的一项．
（1）若a₁=4，则d的取值集合为______；
（2）若a₁=2^m（m∈N^*），则d的所有可能取值的和为______．

Answer 1

由题意可得，a_p+a_q=a_k，其中p、q、k∈N^*，
由等差数列的通向公式可得a₁+（p-1）d+a₁+（q-1）d=a₁+（k-1），
整理得d=

a1

k-p-q+1

，
（1）若a₁=4，则d=

4

k-p-q+1

，
∵p、q、k∈N^*，公差d∈N^*，
∴k-p-q+1∈N^*，
∴d=1，2，4，
故d的取值集合为 {1，2，4}；
（2）若a₁=2^m（m∈N^*），则d=

2m

k-p-q+1

，
∵p、q、k∈N^*，公差d∈N^*，
∴k-p-q+1∈N^*，
∴d=1，2，4，…，2^m，
∴d的所有可能取值的和为1+2+4+…+2^m=

1×(1-2m+1)

1-2

=2^m+1-1，
故答案为（1）{1，2，4}，（2）2^m+1-1．