Question

已知双曲线的离心率e=2，且B₁、B₂分别是双曲线虚轴的上、下端点．
（Ⅰ）若双曲线过点Q（2，），求双曲线的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若A、B是双曲线上不同的两点，且，求直线AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据双曲线的离心率，求得a和c的关系，进而求得a和b的关系，把点Q代入椭圆方程求得a，进而求得b，则椭圆方程可得．
（Ⅱ）根据判断出A、B₂、B三点共线．根据判断出，进而设直线AB的方程和B₁B的方程联立求得B的坐标，代入双曲线方程求得k，则直线AB的方程可得．
解答：解：（Ⅰ）∵双曲线方程为
∴c=2a，b²=c²-a²=3a²，
∴双曲线方程为，又曲线C过点Q（2，），
∴
∴双曲线方程为
（Ⅱ）∵，
∴A、B₂、B三点共线．
∵，∴
（1）当直线AB垂直x轴时，不合题意．
（2）当直线AB不垂直x轴时，由B₁（0，3），B₂（0，-3），
可设直线AB的方程为y=kx-3，①
∴直线B₁B的方程为②
由①，②知，代入双曲线方程得
，得k⁴-6k²+1=0，
解得，
故直线AB的方程为
点评：本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．