Question

如图所示的长方体中，底面是边长为的正方形，为与的交点，，是线段的中点．

(1)求证：平面；

(2)求三棱锥的体积

 

Answer 1

【答案】

(1)见解析    (2)

【解析】（1）连结，如图，

∵、分别是、的中点，是矩形，

∴四边形是平行四边形，

∴．            --------2分

∵平面，平面，

∴平面．-------------------6分

（2）解法1  连结，∵正方形的边长为2，

，∴，，，则，

∴．            --------------------------------------------------------8分

又∵在长方体中，，，且，

∴平面，又平面，

∴，又，

∴平面，即为三棱锥的高． ----------10分

∵，

∴． --------------------------------14分

解法2： 三棱锥是长方体割去三棱锥、三棱锥、三棱锥、三棱锥后所得，而三棱锥、、、是等底等高，故其体积相等．

．