Question

设a=lgz+lg[x（yz）^-1+1]，b=lgx^-1+lg（xyz+1），c=lgy+lg[（xyz）^-1+1]，记a，b，c中最大数为M，则M的最小值为

lg2

．

Answer 1

分析：化简a、b、c，利用基本不等式求得a+c≥2lg2，可得a、c 中至少有一个大于或等于lg2，故有M≥lg2．当x=y=z=1时，
a=b=c=lg2，此时，M=lg2，综上可得M的最小值．

解答：解：∵a=lgz+lg[x（yz）^-1+1]=lgz+lg（

x

yz

+1）=lg（

x

y

+z），b=lg（yz+

1

x

），c=lg（

1

xz

+y），
∴a+c=lg（

x

y

+z）（

1

xz

+y）=lg（

1

yz

+x+

1

x

+yz）≥lg（2+2）=2lg2，当且仅当x=1，且yz=1时取等号．
故a、c 中至少有一个大于或等于lg2，故有M≥lg2．
但当x=y=z=1时，a=b=c=lg2，此时，M=lg2．
综上可得，M的最小值为lg2，
故答案为 lg2．

点评：本题主要考查不等式与不等关系，基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，属于中档题．