题目内容

数列{a_n}满足 $数学公式$ ，并且a_n（a_n-1+a_n+1）=2a_n+1a_n-1（n≥2），则a₂₀₁₂=

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：利用递推关系式推出﹛ $\text{[math]}$ ﹜为等差数列，然后求出结果．
解答：∵a_n（a_n-1+a_n+1）=2a_n+1a_n-1（n≥2），
∴a_na_n-1+a_n+1a_n=2a_n+1a_n-1，两边同除a_n+1a_n-1，
得 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =2，
两边同时除以a_n，得到 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
所以﹛ $\text{[math]}$ }为等差数列，
a₁=1，a₂= $\text{[math]}$ ，故an= $\text{[math]}$ ，
所以a₂₀₁₂= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故选C．
点评：本题考查数列的递推关系式的应用，判断数列是等差数列是解题的关键，考查计算能力．

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设数列{a_n}满足：Sn=

+n，a_n＞0．
（1）求{a_n}的表达式；
（2）将数列{a_n}依次按1项，2项，3项循环地分为（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇），（a₈，a₉），（a₁₀，a₁₁，a₁₂），
…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₂₀₁₀的值；
（3）如果将数列{a_n}依次按1项，2项，3项，…，m（m≥3）项循环；分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

已知函数f(x)(x∈R，x≠

)满足ax-f（x）=2bx+f（x），a≠0，f（1）=1；且使f（x）=2x成立的实数x只有一个．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若数列a_n满足a1=

，an+1=f(an)，bn=

-1，n∈N+，证明数列b_n是等比数列，并求出b_n的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n＜1，n∈N⁺．

（2008•上海一模）观察数列：
①1，-1，1，-1，…；
②正整数依次被4除所得余数构成的数列1，2，3，0，1，2，3，0，…；
③a_n=tan

，n=1，2，3，…
（1）对以上这些数列所共有的周期特征，请你类比周期函数的定义，为这类数列下一个周期数列的定义：对于数列{a_n}，如果

存在正整数T

存在正整数T

，对于一切正整数n都满足

成立，则称数列{a_n}是以T为周期的周期数列；
（2）若数列{a_n}满足a_n+2=a_n+1-a_n，n∈N^*，S_n为{a_n}的前n项和，且S₂=2008，S₃=2010，证明{a_n}为周期数列，并求S₂₀₀₈；
（3）若数列{a_n}的首项a₁=p，p∈[0，

），且a_n+1=2a_n（1-a_n），n∈N^*，判断数列{a_n}是否为周期数列，并证明你的结论．

设函数f（x）=e^x+1，g（x）=（e-1）x+2（e是自然对数的底数）．
（1）判断函数H（x）=f（x）-g（x）零点的个数，并说明理由；
（2）设数列{a_n}满足：a₁∈（0，1），且f（a_n）=g（a_n+1），n∈N^*；
①求证：0＜a_n＜1；
②比较a_n与（e-1）a_n+1的大小．

设函数f（x）=

（a，b为常数，a≠0），若f（1）=

，且f（x）=x只有一个实数根．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若数列{a_n}满足关系式：a_n=f（a_n-1）（n∈N且n≥2），又a1=-

，证明数列{

}是等差数列并求{a_n}的通项公式．