Question

三棱锥V-ABC中，AB=AC=10，BC=12，各侧面与底面所成的二面角都是45°，则棱锥的侧面积是

48

2

，高是

3

．

Answer 1

分析：取BC中点M，连接AM，由AB=AC=10，知AM垂直于BC，AM=8，求出S_△ABC，利用由各侧面与底面成的二面角都是45°，二面角θ，cosθ=

S△ABC

S侧

，求出侧面积；设VP垂直于面ABC于P，由各侧面与底面成的二面角都是45°，知P为△ABC内心，设半径为R，由△ABC的面积求出R=3，由此能求出棱柱的高．

解答：a或者2a
解：取BC中点M，连接AM，
∵AB=AC=10，
∴AM垂直于BC，AM=8，
S_△ABC=

1

2

×BC×AM=48，
由各侧面与底面成的二面角都是45°，
设二面角θ，cosθ=

S△ABC

S侧

，S_侧=

S△ABC

cosθ

=

48

2 2

=48

2

设VP垂直于面ABC于P，
∵各侧面与底面成的二面角都是45°，
即P为△ABC内心，设半径为R，
则S_△ABC=

1

2

×（BC+AB+AC）R=16R=48，
R=3，
∴VP=R•tan45°=3．
棱锥的高：3．
故答案为：48

2

；3．

点评：本题考查与二面角有关的立体几何综合题，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角形面积公式的合理运用．