Question

函数f(x)=sinx，g(x)=f(x+

π

2

)，直线x=t（t∈R）与f（x），g（x）的图象交于M、N两点，则M、N两点间的距离|MN|的最大值是（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  3

  2

• C、

  2

• D、2

Answer 1

分析：由已知中直线x=t分别交函数f（x）、g（x）的图象于M、N两点，构造函数表示M、N的距离，根据辅助角公式可将其化为一个正弦型函数的形式，根据正弦型函数的性质，即可得到答案．

解答：解：由题意可得：f(x)=sinx，g(x)=f(x+

π

2

)，
所以g(x)=f(x+

π

2

)=cosx．
因为直线x=t（t∈R）与f（x），g（x）的图象交于M、N两点，
所以|MN|=|sinx-cosx|，
所以|sinx-cosx|=|

2

sin（x-

π

4

）|∈[0，

2

]．
所以M、N两点间的距离|MN|的最大值为

2

．
故答案为：

2

．

点评：本题考查的知识点是三角函数的最值，其中构造函数表示M、N的距离，将平面上两动点之间的距离问题转化为三角函数的最值问题，是解答本题的关键．