Question

过原点且与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1只有一个公共点的直线的条数是（　　）

A．3

B．2

C．1

D．0

Answer 1

分析：设过原点的直线方程为y=kx，联立

y=kx x2 a2 - y2 b2 =1

，得（b²-a²k²）x²-a²b²=0，由过原点的直线与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1只有一个公共点，得k=±

b

a

．由y=±

b

a

x是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的渐近线，能求出结果．

解答：解：设过原点的直线方程为y=kx，
联立

y=kx x2 a2 - y2 b2 =1

，得（b²-a²k²）x²-a²b²=0，
∵过原点的直线与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1只有一个公共点，
∴△=4（b²-a²k²）a²b²=0，
解得k=±

b

a

．
∵y=±

b

a

x是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的渐近线，
∴过原点且与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1只有一个公共点的直线的条数是0条．
故选D．

点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．