Question

（2013•绍兴一模）已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O，A两点，若△AOF的面积为b²，则双曲线的离心率是（　　）

• A．

  3

• B．

  5

• C．

  3

  2

• D．

  5

  2

Answer 1

分析：利用已知条件和点到直线的距离公式可得点F到此条渐近线的距离为

bc

a2+b2

，结合渐近线的倾斜角利用解直角三角形求出△AOF的面积，从而建立等式，经过化简可得a、b的关系式，再利用离心率的计算公式即可得出．

解答：解：焦点F（c，0），一条渐近线y=

b

a

x，
则点F到此条渐近线的距离，即FA=

bc

a2+b2

，
在R△OAF中，OA=

FA

b a

=

ac

a2+b2

．
∴

1

2

×OA×FA=b²，即

1

2

×

ac

a2+b2

×

bc

a2+b2

=b²，
化为2b=a，
∴此双曲线的离心率e=

c

a

=

a2+b2 a2

=

5

2

．
故选D．

点评：熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、离心率的计算公式是解题的关键．