Question

已知公差大于零的等差数列a_n的前n项和为S_n，且满足a₁a₆=21，S₆=66．
（Ⅰ）求数列a_n的通项a_n；
（Ⅱ）若数列b_n使b_n=xan+3，求数列b_n前n项之和T_n；
（Ⅲ）若数列c_n是等差数列，且cn=

Sn

n+p

，求非零常数p．

Answer 1

分析：（1）：利用待定系数法：即设出首项和公差，列出方程即可解出首项和公差，从而得通项公式．
（2）：将数列a_n的通项代入b_n，即可求出b_n通项．再利用等比数列n项和公式得解．
（3）：将等差数列a_n的前n项和为S_n，代入数列cn=

Sn

n+p

中，从而得c_n通项，又有等差中项性质可得解．

解答：解：（Ⅰ）由题

a1+a6=22 a1a6=21

∵d＞0?

a1=1 a6=21

又d=

21-1

6-1

=4∴a_n=4n-3
（Ⅱ）由b_n=x⁴ⁿ得{b_n}是以x⁴为首项，x⁴为公比的等比数列
当x=±1时，T_n=n当x≠±1时，T_n=

x4(1-x4n)

1-x4

（Ⅲ）又S_n=n+

n(n-1)

2

×4=2n²-n∴cn=

2n2-n

n+p

∵c_n是等差数列∴2•

6

2+p

=

1

1+p

+

15

3+p

∴p=0或p=-

1

2

点评：本题是等差数列和等比数列的综合题：
（1）可利用求解数列题的一般方法：待定系数法求解．
（2）求等比数列前n项和时，注意公比的讨论．
（3）等差数列中等差中项的性质及应用是高考中的热点．要引起足够重视．