Question

已知函数f（x）=lnx--2x，a∈R．
（1）若f（x）在x=1处的切线与直线x+y=0垂直，求a的值．
（2）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求切线斜率即可．（2）若f（x）存在单调递减区间，则f'（x）＜0有解．
解答：解：函数的定义域为{x|x＞0}．
（1）因为f（x）在x=1处的切线与直线x+y=0垂直，所以f（x）在x=1处的切线斜率k=1，
因为f（x）=lnx--2x，所以，
则f（x）在x=1处的切线斜率k=f'（1）=1-a-2=1，解得a=-2．
（2）若f（x）存在单调递减区间，则f'（x）＜＜0有解，则＜0．
即，在x＞0时成立，所以成立即可．
由得，a＞1．
故a的取值范围a＞1．
点评：本题主要考查导数基本运算以及导数的几何意义，以及函数的单调性与导数之间的关系．