Question

（理）设双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为e，若准线l与两条渐近线相交于P、Q两点，F为右焦点，△FPQ为等边三角形．
（1）求双曲线C的离心率e的值；
（2）若双曲线C被直线y=ax+b截得的弦长为求双曲线c的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据双曲线方程可知，双曲线C的右准线l的方程为：x=，两条渐近线方程为：，从而可得两交点坐标，根据△PFQ为等边三角形，则有，从而可建立方程，利用c²-a²=b²，即可求得双曲线C的离心率e的值；
（2）由（1）得双曲线C的方程为．把代入得．
利用韦达定理及弦长公式，可求弦长，利用双曲线C被直线y=ax+b截得的弦长为，建立方程，可求a²的值，从而得到双曲线C的方程．
解答：解：（1）双曲线C的右准线l的方程为：x=，两条渐近线方程为：．
∴两交点坐标为 ，、，．
设M为PQ与x轴的交点
∵△PFQ为等边三角形，则有（如图）．
∴，即．
解得 ，c=2a．
∴．
（2）由（1）得双曲线C的方程为．直线方程为
把代入得．
依题意
∴a²＜6，且a²≠3．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴，
∴双曲线C被直线y=ax+b截得的弦长为=
∵．
∴．
整理得 13a⁴-77a²+102=0．
∴a²=2或．
∴双曲线C的方程为：或 ．
点评：本题以双曲线的性质为载体，考查双曲线的标准方程，考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是利用韦达定理求弦长