题目内容

已知函数 $数学公式$
（1）试判断f（x）的单调性，并说明理由；
（2）若 $数学公式$ 恒成立，求实数k的取值范围；
（3）求证：[（n+1）!]²＞（n+1）•e^n-2，（n∈N^*）．

（1）解：求导函数，可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵x≥1，∴lnx≥0，∴f′（x）≤0，
∴函数f（x）在[1，+∞）上单调减
∴函数f（x）的单调减区间是[1，+∞）．
（2）解：不等式 $\text{[math]}$ ，即为 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，
令h（x）=x-lnx，则 $\text{[math]}$ ，
∵x≥1，∴h′（x）≥0．
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴[h（x）]min=h（1）=1＞0，
从而g′（x）＞0
故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，
∴[g（x）]_min=g（1）=2，所以k≤2
（3）证明：由（2）知： $\text{[math]}$ 恒成立，即 $\text{[math]}$ ，
令x=n（n+1），则 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ ．
叠加得：ln[1×2²×3²×…×n²×（n+1）]= $\text{[math]}$
则1×2²×3²×…×n²×（n+1）＞e^n-2，
所以[（n+1）!]²＞（n+1）•e^n-2，（n∈N^*）．
分析：（1）求导函数，根据函数的定义域，即可确定函数的单调性；
（2）如果当x≥1时，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，把k分离出来，再利用导数法确定函数的单调性，再求出函数最值即可；
（3）由（2）可得 $\text{[math]}$ ，令x=n（n+1），则 $\text{[math]}$ ，写出n个式子，叠加即可证明结论．
点评：本题考查应用导数研究函数的极值最值问题，考查不等式的证明，有关恒成立的问题一般采取分离参数，转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想方法．