Question

已知集合A={x|x²-2x-3＞0}，B═{x|ax²+bx+c≤0}，若A∩B={x|3＜x≤4}，A∪B=R，则

b2

a

+

a

c2

的最小值为

3

2

．

Answer 1

分析：先化简A，B，利用条件A∩B={x|3＜x≤4}，A∪B=R，确定a，b，c的关系，然后利用基本不等式进行求解．

解答：解：A={x|x²-2x-3＞0}={x|x＞3或x＜-1}，
设m，n是方程ax²+bx+c=0的两个根，（m＜n）
∵A∩B={x|3＜x≤4}，A∪B=R，
∴4，-1是方程ax²+bx+c=0的两个根且a＞0，
∴-1+4=-

b

a

=3，-1×4=

c

a

=-4，
∴b=-3a，c=-4a，a＞0，
∴

b2

a

+

a

c2

=

(-3a)2

a

+

a

(-4a)2

=

9a2

a

+

a

16a2

=9a+

1

16a

≥2

9a• 1 16a

=2

9 16

=2×

3

4

=

3

2

．
当且仅当9a=

1

16a

，即a=

1

12

时取等号．
故答案为：

3

2

．

点评：本题主要考查集合的基本运算，以及基本不等式的应用，综合性较强．