Question

已知圆x²+y²-2y=0上任一点p（x，y）
（1）求2x+y的取值范围
（2）若x+y+c≥0恒成立，求实数c的最小值．

Answer 1

分析：（1）设2x+y=t，由于点p（x，y）在圆上，因此求2x+y的取值范围?圆心C到直线的距离d≤r，利用点到直线的距离求出即可；
（2）由于点p（x，y）在圆上，因此x+y+c≥0恒成立?c≥[-（x+y）]_max，点p（x，y）满足圆的方程．设s=-（x+y），则利用点到直线的距离求出圆心到直线的距离d≤r，解出即可．

解答：解：（1）由圆x²+y²-2y=0可化为x²+（y-1）²=1，圆心为C（0，1），半径r=1．
设2x+y=t，则y=-2x+t．
∵直线y=-2x+t与圆有公共点，∴圆心C（0，1）到直线的距离d=

|1-t|

(-2)2+12

≤1，解得1-

5

≤t≤1+

5

．
因此2x+y的取值范围是[1-

5

，1+

5

]．
（2）点p（x，y）在圆上，x+y+c≥0恒成立?c≥[-（x+y）]_max，点p（x，y）满足圆的方程．
设s=-（x+y），则y=-x-s，∵点p（x，y）在圆上，
∴圆心C（0，1）到直线的距离d≤r，即

|1+s|

2

≤1，解得-

2

-1≤s≤

2

-1，
∴s的最大值为

2

-1，因此c≥

2

-1．
故c的最小值为

2

-1．

点评：正确把求取值范围转化为圆心到直线的距离d≤r是解题的关键．