Question

设数列的前项和为，且方程有一根为。

（Ⅰ）求；（Ⅱ）猜想数列的通项公式，并给出严格的证明。

Answer 1

解：（Ⅰ）    即

令      解得

令      解得

（Ⅱ）解法一：

      化简得

     

      令 解得

     所以

     令

    所以   化简得

    而

    所以是以-2为首项，-1为公差的等差数列

    所以        得

解法二：猜想，下面用数学归纳法证明：

当时，，所以当时猜想成立

假设当时，猜想成立

即

那么当时，

所以当时猜想成立。

综合（1）、（2）可得对于任意的正整数猜想都成立。