Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的虚轴端点与一个焦点连线的中点在与此焦点对应的准线上，PQ是双曲线的一条垂直于实轴的弦，O为坐标原点．则

.

OP

•

.

OQ

等于（　　）

A．0

B．a²

C．-a²

D．2a²

Answer 1

分析：首先根据双曲线虚轴端点与一个焦点连线的中点在与此焦点对应的准线上，运用中点坐标公式和准线方程表达式，计算出c²=2a²，从而得到a²=b²，双曲线方程为

x2

a2

-

y2

a2

=1．然后可以设出垂直于实轴的弦PQ端点的坐标，利用向量数量积的坐标表达式结合双曲线方程进行化简，可得则

.

OP

•

.

OQ

等于a²．

解答：解：设A（0，-b）为虚轴的一个端点，F（c，0）是双曲线的右焦点
∵虚轴端点与一个焦点连线的中点在与此焦点对应的准线上
∴AF中点G在右准线：x=

a2

c

上
∴

xG= 1 2 (0+c)= a2 c yG= 1 2 (-b+0)=- b 2

⇒

1

2

c=

a2

c

⇒c²=2a²
∵c²=a²+b²
∴a²=b²⇒双曲线方程为

x2

a2

-

y2

a2

=1
∵PQ是双曲线的一条垂直于实轴的弦
∴可以设P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀）
且

x02

a2

-

y02

a2

=1⇒x0 2-y02=a2
由向量数量积的坐标表达式得：

.

OP

•

.

OQ

=x₀•x₀+y₀•（-y₀）=x0 2-y02=a2
故选B

点评：本题以双曲线的标准方程和简单性质为载体，着重考查了向量的数量积和双曲线的基本概念等知识点，考查了转化与化归的数学思想，属于中档题．