Question

已知α、β为锐角，且x(α+β－)＞0,试证不等式f(x)=^x＜2对一切非零实数都成立.

Answer 1

证明略

解析:

若x＞0，则α+β＞

∵α、β为锐角，∴0＜－α＜β＜;0＜－β＜,

∴0＜sin(－α)＜sinβ  0＜sin(－β)＜sinα，

∴0＜cosα＜sinβ,0＜cosβ＜sinα,

∴0＜＜1,0＜＜1,

∴f(x)在(0,+∞)上单调递减，∴f(x)＜f(0)=2 

若x＜0,α+β＜,∵α、β为锐角，

0＜β＜－α＜,0＜α＜－β＜,

0＜sinβ＜sin(－α),

∴sinβ＜cosα,0＜sinα＜sin(－β),

∴sinα＜cosβ,∴＞1, ＞1,

∵f(x)在(－∞,0）上单调递增，∴f(x)＜f(0)=2,∴结论成立.