Question

已知函数f（x）=

1-x

ax

+lnx（x＞0）．
（1）当a=1时，求f（x）在[

1

2

，2]上的最小值；
（2）若函数f（x）在[

1

2

，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；
（3）若关于x的方程1-x+2xlnx-2mx=0在区间[

1

e

，e]内恰有两个相异的实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，可求得f（x）、f′（x），由f′（x）=0，得x=1，求出函数的极值、端点处函数值，然后进行比较即可；
（2）利用导数求出f（x）的增区间，由题意可知[

1

2

，+∞）为增区间的子集，由此可得a的范围；
（3）方程可变为

1-x

2x

+lnx=m，则问题等价于函数g(x)=

1-x

2x

+lnx的图象与函数y=m的图象在区间[

1

e

，e]内恰有两个交点．利用导数研究函数g（x）的性质、极值、端点处函数值，画出草图，借助图象可得m的范围；

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=

1

x

+lnx-1，f′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
令f′（x）=0，得x=1，
于是，当

1

2

＜x＜1时，f′（x）＜0，当1＜x＜2时，f′（x）＞0，
所以当x=1时f（x）取得极小值，且f（1）=0，
又f（

1

2

）=1-ln2，f（2）=ln2-

1

2

，
所以当x=1时函数f（x）取得最小值0．
（2）f′(x)=

1

x

-

1

ax2

=

ax-1

ax2

，
因为a为正实数，由定义域知x＞0，
所以函数的单调递增区间为[

1

a

，+∞)，
又函数f（x）在[

1

2

，+∞)上为增函数，所以0＜

1

a

≤

1

2

，
所以a≥2；
（3）方程1-x+x2lnx-2mx=0在区间[

1

e

，e]内恰有两个相异的实数根，
推得方程

1-x

2x

+lnx-m=0在区间[

1

e

，e]内恰有两个相异的实数根，即方程

1-x

2x

+lnx=m在区间[

1

e

，e]内恰有两个相异的实数根，
则函数g(x)=

1-x

2x

+lnx的图象与函数y=m的图象在区间[

1

e

，e]内恰有两个交点．
考察函数g(x)=

1-x

2x

+lnx，g′(x)=-

1

2x2

+

1

x

=

2x-1

2x2

，则g（x）在区间[

1

e

，

1

2

]为减函数，在[

1

2

，e]为增函数，
则有：g(e)=

1-e

2e

+lne=

1-e

2e

+1=

1+e

2e

＞0，
g(

1

2

)=

1- 1 2

2× 1 2

+ln

1

2

=

1

2

-ln2＜0，
g（

1

e

）=

1- 1 e

2× 1 e

+ln

1

e

=

e-1

2

-1=

e-3

2

＜0＜g（e），
画函数g(x)=

1-x

2x

+lnx，x∈[

1

e

，e]的草图，要使函数g(x)=

1-x

2x

+lnx的图象与函数y=m的图象在区间[

1

e

，e]内恰有两个交点，
则要满足g(

1

2

)＜m≤g(

1

e

)，
所以m的取值范围为{m|

1

2

-ln2＜m≤

e-3

2

}．

点评：本题考查利用导数研究函数的最值、函数的单调性及函数的零点问题，考查函数思想、数形结合思想、转化思想．