Question

设椭圆C∶(a＞0)的两个焦点是F₁(－c，0)和F₂(c，0)(c＞0)，且椭圆C与圆x²＋y²＝c²有公共点．

(1)求a的取值范围；

(2)(理)若椭圆上的点到焦点的最短距离为，求椭圆的方程；

(文)如果椭圆的两个焦点与短轴的两个端点恰好是正方形的四个顶点，求椭圆的方程；

(3)(理)对(2)中的椭圆C，直线l∶y＝kx＋m(k≠0)与C交于不同的两点M、N，若线段MN的垂直平分线恒过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．

(文)过(2)中椭圆右焦点F₂且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于M、N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于点Q，求点Q的横坐标的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由已知，， 　　∴方程组有实数解，从而，　　3分 　　故，所以，即的取值范围是．　　4分 　　(2)(理)设椭圆上的点到一个焦点的距离为， 　　则 　　()．　　6分 　　∵，∴当时，，　　7分 　　于是，，解得．　　9分 　　∴所求椭圆方程为．　　10分 　　(直接给出的扣3分) 　　(2)(文)由已知可得，从而，　　8分 　　所以所求椭圆方程是．　　10分 　　(3)(理)由得(*) 　　∵直线与椭圆交于不同两点，∴△，即．　　12分 　　①设、，则、是方程(*)的两个实数解， 　　∴，∴线段的中点为， 　　又∵线段的垂直平分线恒过点，∴， 　　即，即　　14分 　　②由①，②得，，又由②得， 　　∴实数的取值范围是．　　16分 　　(3)(文)，由题意，直线的斜率存在且不为，设直线的方程为： 　　，由得，(*) 　　设，，则是方程(*)的两个实数解，于是，则线段的中点为．　　12分 　　∴线段的垂直平分线的方程为， 　　在上式中令，得点的横坐标为．　　14分 　　∴，所以点的横坐标的取值范围是．　　16分