题目内容

椭圆焦点在x轴，离心率为
3
2
，直线y=1-x与椭圆交于M，N两点，满足OM⊥ON，求椭圆方程．
分析：设出椭圆的方程，然后根据题意将已知代入方程，并运用设而不求韦达定理求出参数a，b．最后写出椭圆方程．
解答：解：设椭圆方程
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），
∵e=
3
2
，∴a2=4b2，即a=2b．
∴椭圆方程为
x2
4b2
+
y2
b2
=1．
把直线方程代入化简得5x2-8x+4-4b2=0．
设M（x1，y1）、N（x2，y2），则
x1+x2=
8
5
，x1x2=
1
5
（4-4b2）．
∴y1y2=（1-x1）（1-x2）=1-（x1+x2）+x1x2=
1
5
（1-4b2）．
由于OM⊥ON，∴x1x2+y1y2=0．
解得b2=
5
8
，a2=
5
2
．
∴椭圆方程为
2
5
x2+
8
5
y2=1．
点评：本题考查双曲线与椭圆方程的应用，根据双曲线方程，设出椭圆方程，并根据已知求解．考查了学生对双曲线以及椭圆知识的糅合，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
（2012•淮南二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）与双曲4x2-
4
3
y2=1有相同的焦点，且椭C的离心e=
1
2
，又A，B为椭圆的左右顶点，M为椭圆上任一点（异于A，B）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直MA交直x=4于点P，过P作直线MB的垂线x轴于点Q，Q的坐标；
（3）求点P在直线MB上射R的轨迹方程．

已知焦点在x轴上的双曲线的离心率e＝2，它的渐近线与焦点在x轴上的椭圆相交于P点，且点P在x轴上的投影是椭圆的焦点，则椭圆的离心是

[　　]

A．

B．

C．

D．

已知椭圆C：+=1，（a＞b＞0）与双曲4x2-y2=1有相同的焦点，且椭C的离心e=，又A，B为椭圆的左右顶点，M为椭圆上任一点（异于A，B）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直MA交直x=4于点P，过P作直线MB的垂线x轴于点Q，Q的坐标；
（3）求点P在直线MB上射R的轨迹方程．
已知椭圆C：+=1，（a＞b＞0）与双曲4x2-y2=1有相同的焦点，且椭C的离心e=，又A，B为椭圆的左右顶点，M为椭圆上任一点（异于A，B）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直MA交直x=4于点P，过P作直线MB的垂线x轴于点Q，Q的坐标；
（3）求点P在直线MB上射R的轨迹方程．
已知椭圆C：+=1，（a＞b＞0）与双曲4x2-y2=1有相同的焦点，且椭C的离心e=，又A，B为椭圆的左右顶点，M为椭圆上任一点（异于A，B）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直MA交直x=4于点P，过P作直线MB的垂线x轴于点Q，Q的坐标；
（3）求点P在直线MB上射R的轨迹方程．

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