Question

在圆x²+y²=5x内，过点P(

5

2

，

3

2

)有n条长度成等差数列的弦，最小弦长为数列的首项a₁，最大弦长为a_n，若公差d∈[

2

13

，

2

5

]，那么n的取值集合内所有元素平方和为（　　）

A．126

B．86

C．77

D．50

Answer 1

分析：根据题意可求得a₁=4，a_n=5，结合等差数列{a_n}的公差d∈[

2

13

，

2

5

]可得到n的取值，从而可得n的取值集合，继而得到答案．

解答：解：∵圆x²+y²=5x的标准方程为：(x-

5

2

)2+y²=(

5

2

)2，
∴该圆的圆心坐标为：O′（

5

2

，0），半径为

5

2

，
∴过点P（

5

2

，

3

2

）的弦中过点P的弦与PO′垂直时弦长最小，设最小弦长为l，
则l=2

( 5 2 )2-( 3 2 )2

=4，
最大弦长为过点P的直径d=4，即a_n=5，
∵该圆的过点P的n条弦长成等差数列{a_n}，其公差d∈[

2

13

，

2

5

]，
∴a_n=a₁+（n-1）d，
∴5=4+（n-1）d，
∴n-1=

1

d

，①
∵

2

13

≤d≤

2

5

，
∴

5

2

≤

1

d

≤

13

2

，代入①有：

5

2

≤n-1≤

13

2

，
∴3.5≤n≤7.5，又n为正整数，
∴n=4，5，6，7．
∴n的取值集合N={4，5，6，7}，
∴n的取值集合内所有元素平方和S=4²+5²+6²+7²=126．
故选A．

点评：本题考查等差数列的性质，求得n的取值集合是关键，突出考查圆的性质，考查综合分析与运算能力，属于中档题．