Question

已知函数f（x）=cos（

π

3

+x）cos（

π

3

-x），g（x）=

1

2

sin2x-

1

4

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数h（x）=f（x）-g（x）的最大值，并求使h（x）取得最大值的x的集合．

Answer 1

分析：（Ⅰ）对于求函数f（x）的最小正周期，可以先将函数按照两角和，两角差的余弦公式展开后，再利用降幂公式化成一个角一个函数的形式后，用公式T=

2π

ω

周期即可求出．
（Ⅱ）对于函数h（x）=f（x）-g（x），把f（x）与g（x）解析式代入后，依照两角和余弦公式的逆用化成一个角一个函数为h（x）=

2

2

cos（2x+

π

4

），由于定义域为全体实数R，故易知最值为

2

2

，而此时角2x+

π

4

应为x轴正半轴的所有角的取值，即2x+

π

4

=2kπ，k∈Z．由此确定角x的取值几何即可．

解答：解：（1）f（x）=cos（

π

3

+x）cos（

π

3

-x）=（

1

2

cosx-

3

2

sinx）（

1

2

cosx+

3

2

sinx）=

1

4

cos²x-

3

4

sin2 x=

1+cos2x

8

-

3-3cos2x

8

=

1

2

cos2x-

1

4

，
∴f（x）的最小正周期为

2π

2

=π
（2）h（x）=f（x）-g（x）=

1

2

cos2x-

1

2

sin2x=

2

2

（

2

2

cos2x-

2

2

sin2x）=

2

2

（cos

π

4

cox2x-sin

π

4

sin2x）=

2

2

cos（2x+

π

4

）
∴当2x+

π

4

=2kπ，k∈Z，即x=kπ-

π

8

，k∈Z时，h（x）取得最大值

2

2

，且此时x取值集合为{x|x=kπ-

π

8

，k∈Z}

点评：本题主要考查三角函数的周期和最值问题，并兼顾检测了学生对两角和，差的正余弦公式和降幂公式等，属于三角函数的综合性问题．而解决有关复合角三角函数问题的关键还是在于对三角函数性质的掌握，本题难度系数0.6