Question

已知函数（e为自然对数的底数），a＞0．
（1）若函数恰有一个零点，证明：；
（2）若≥0对任意x∈R恒成立，求实数a的取值集合．

Answer 1

（1）见解析；（2）{1}.

解析试题分析：（1）先判断f（x）的单调性，根据“f（x）前有一个零点”，找到关于a的等式，化简整理可得需证结论；（2）根据（1），只需f（x）的最小值不小于0即可.
试题解析：（1）证明： 由，得．         1分
由＞0，即＞0，解得x＞lna，同理由＜0解得x＜lna，
∴ f（x）在（－∞，lna）上是减函数，在（lna，＋∞）上是增函数，
于是f（x）在x＝lna取得最小值．
又∵ 函数f（x）恰有一个零点，则，         4分
即．                      5分
化简得：，
∴ ．                           6分
（2）解：由（1）知，f（x）在x＝lna取得最小值f（lna），
由题意得f（lna）≥0，即a－alna－1≥0，              8分
令，则，
由可得0＜a＜1，由可得a＞1．
∴ h（a）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，即，
∴ 当0＜a＜1或a＞1时，h（a）＜0，
∴ 要使得f（x）≥0对任意x∈R恒成立，a＝1
∴ a的取值集合为{1}            13分
考点：导数，函数的零点，恒成立问题