Question

选修4-5：不等式选讲
证明：

1

1

+

1

1×2

+

1

1×2×3

+…+

1

1×2×3×…×n

＜2（n＞2，n∈N^*）．

Answer 1

分析：利用 n＞2，n∈N^*时，

1

1×2×3××n

＜

1

2n-1

，把不等式的左边从第三项开始，每项都放大为

1

2n-1

，
再利用等比数列的求和公式运算，结果为2-

1

2n-1

，显然小于2成立．

解答：证明：

1

1

+

1

1×2

+

1

1×2×3

+…+

1

1×2×3××n

＜1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=

1×[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=2×[1-(

1

2

)n]=2-

1

2n-1

＜2．
故要证的不等式成立．

点评：本题考查不等式的放缩，等比数列的求和公式，不等式的放缩是解题的难点．