题目内容

已知点F₁，F₂分别是椭圆为C： $数学公式$ 的左、右焦点，过点F₁（-c，0）作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F₂作直线PF₂的垂线交直线 $数学公式$ 于点Q，若直线PQ与双曲线 $数学公式$ 的一条渐近线平行，则椭圆的离心率为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：将点P（-c，y₁）（y₁＞0）代入C： $\text{[math]}$ ，得P（-c， $\text{[math]}$ ），由过点F₂作直线PF₂的垂线交直线 $\text{[math]}$ 于点Q，PF₂⊥QF₂，得Q（ $\text{[math]}$ ，2a），由直线PQ与双曲线 $\text{[math]}$ 的一条渐近线平行，知 $\text{[math]}$ ，由此能求出结果．
解答：将点P（-c，y₁）（y₁＞0）代入C： $\text{[math]}$ ，
得y1= $\text{[math]}$ ，
∴P（-c， $\text{[math]}$ ），
∵过点F₂作直线PF₂的垂线交直线 $\text{[math]}$ 于点Q，PF₂⊥QF₂，
∴设Q（ $\text{[math]}$ ，y），得 $\text{[math]}$ ，解得y=2a，∴Q（ $\text{[math]}$ ，2a），
∵直线PQ与双曲线 $\text{[math]}$ 的一条渐近线平行，
∴ $\text{[math]}$ ，即4a- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
整理，得2e³- $\text{[math]}$ +2e- $\text{[math]}$ =0，
解得e= $\text{[math]}$ ．
故选C．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查导数知识的运用，综合性强．解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．

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（Ⅰ）求椭圆C的方程；
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（ I）求椭圆C的方程．
（ II）点M的坐标为(

，0)，过点F₂且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A，B两点．对于任意的k∈R，

是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由．

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，0），过点F₂且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点．对于任意的k∈R，

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