Question

【题目】椭圆〔＞b＞0〕与抛物线有共同的焦点F，且两曲线在第一象限的交点为M，满足.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点，斜率为的直线与椭圆交于两点，设，假设，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由题可得，，点M的横坐标为，代入抛物线方程可求得M点纵坐标，然后利用椭圆的定义求出a，即可得到本题答案；

（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理得①，②，由题，得③，结合以上三个式子，得，求出在的取值范围，即可得到本题答案.

（1）由椭圆与抛物线有共同的焦点F，且两曲线在第一象限的交点为M，满足，

得椭圆的，点M的横坐标为，代入抛物线方程，可得，

因为椭圆焦点为，所以，得，则椭圆的方程为；

（2）设直线的方程为，代入椭圆方程得：，恒成立.

设，那么①，②，

由可得，③，由以上三式可得：，

当时，，因此在上单调递增，

因此当时，，

因此，，解得.