Question

设曲线C的方程是y=x³－x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C₁.

(Ⅰ)写出曲线C₁的方程；

(Ⅱ)证明曲线C与C₁关于点A(,)对称；

(Ⅲ)如果曲线C与C₁有且仅有一个公共点，证明s=－t且t≠0.

Answer 1

(Ⅰ)解：曲线C₁的方程为y＝（x－t）³－（x－t）＋s．

 

(Ⅱ)证明：在曲线C上任取一点B₁（x₁，y₁），设B₂（x₂，y₂）是B₁关于点A的对称点，则有

，．

所以x₁＝t－x₂，y₁＝s－y₂．

代入曲线C的方程，得x₂和y₂满足方程：s－y₂＝（t－x₂）³－（t－x₂），

 

即y₂＝（x₂－t）³－（x₂－t）＋s

 

可知点B₂（x₂，y₂）在曲线C₁上

 

反过来，同样可以证明，在曲线C₁上的点关于点A的对称点在曲线C上，因此，曲线C与C₁关于点A对称

 

(Ⅲ)证明：因为曲线C与C₁有且仅有一个公共点

所以方程组有且仅有一组解

消去y整理得3tx²－3t²x＋（t³－t－s）＝0

这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根

所以t≠0并且其根的判别式Δ＝9t⁴－12t（t³－t－s）＝0

即

∴s＝－t且t≠0