Question

过函数f（x）=x³-3x上的点M（-2，-2）的切线方程是

y=-2和y=9x+16

．

Answer 1

分析：欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先设切点坐标为（t，t³-3t），利用导数求出在x=t处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．

解答：解：设切点坐标为（t，t³-3t），
∵f′（x）=3x²-3，∴切线斜率为3t²-3=3（t²-1），
则切线方程为y-（t³-3t）=3（t²-1）（x-t），
∵切线过点M（-2，-2），故坐标M满足切线方程，
∴-2-（t³-3t）=3（t²-1）（-2-t），整理得2t³+6t²-8=（t+2）²（t-1）=0
解得t=-2或t=1．
当t=-2时，t³-3t=-2，3t²-3=9；
当t=1时，t³-3t=-2，3t²-3=0；
故切点为（-2，-2）时，切线斜率为9，
则切线方程为y+2=9（x+2）；
切点为（1，-2）时，切线斜率为0，
则切线方程为y+2=0（x-1）；
∴切线方程为9x-y+16=0或y=-2
故答案为：9x-y+16=0或y=-2．

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．