Question

向量

a

，

b

，

c

，

d

满足：|

a

|=1，|

b

|=

2

，

b

在

a

方向上的投影为

1

2

，(

a

-

c

)•(

b

-

c

)=0，|

d

-

c

|=1，则|

d

|的最大值是

2+

2

2

．

Answer 1

分析：利用投影可得

a

•

b

=

1

2

，由(

a

-

c

)•(

b

-

c

)=0，展开可得

a

•

b

-(

a

+

b

)•

c

+

c

2=0，化为

1

2

+

c

2=(

a

+

b

)•

c

，两边平方得

1

4

+

c

2+

c

4=(

a

2+

b

2+2

a

•

b

)×

c

2，
化为4

c

4-12

c

2+1=0，解得

c

2=

6±2 8

4

，取

c

2=

6+2 8

4

，则|

c

|=

2+ 2

2

．再利用|

d

-

c

|=1，可得1≥|

d

|-|

c

|，于是|

d

|≤|

c

|+1即可得出．

解答：解：∵

b

在

a

方向上的投影为

1

2

，
∴|

b

|cos＜

a

，

b

＞=

1

2

．
∴

a

•

b

=|

a

| |

b

|cos＜

a

，

b

＞=

1

2

．
∵(

a

-

c

)•(

b

-

c

)=0，∴

a

•

b

-(

a

+

b

)•

c

+

c

2=0，
化为

1

2

+

c

2=(

a

+

b

)•

c

，两边平方得

1

4

+

c

2+

c

4=(

a

2+

b

2+2

a

•

b

)×

c

2，
化为4

c

4-12

c

2+1=0，
解得

c

2=

6±2 8

4

，取

c

2=

6+2 8

4

，则|

c

|=

2+ 2

2

．
∵|

d

-

c

|=1，∴1≥|

d

|-|

c

|，即|

d

|≤|

c

|+1=2+

2

2

．

点评：本题考查了向量的数量积运算、投影、向量不等式等基础知识与基本方法，属于难题．