Question

已知某商品的生产成本C与产量q满足的函数关系为C=100+4q，价格p与产量q满足p=25-

1

8

q．
（1）求利润L与产量q的函数关关系式；
（2）求当产量为100时的利润值；
（3）求利润最大时的产量q．

Answer 1

分析：（1）收入R=p•q=(25-

1

8

q)•q=25q-

1

8

q2，利润L=R-C=(25q-

1

8

q2)-(100+4q)，由此能求出利润L与产量q的函数关系式．
（2）当q=100时，把q=100代入利润L的函数关系式就能求出相应的利润值．
（3）法一：L′=-

1

4

q+21，令L′=0，得q=84．由此进行讨论能求出L取最大值的产量q．
法二：L=-

1

8

q2+21q-100，(0＜q＜200)，图象开口向下，对称轴为q=-

21

2×(- 1 8 )

=84，由此能求出L取最大值的产量q．

解答：解：（1）收入R=p•q=(25-

1

8

q)•q=25q-

1

8

q2，
利润L=R-C=(25q-

1

8

q2)-(100+4q)
=-

1

8

q2+21q-100，(0＜q＜200)．
（2）当q=100时，L=-

1

8

×1002+21×100-100=750．
答：产量为100时，利润值为750．
（3）解法一：L′=-

1

4

q+21，
令L′=0，得q=84．
∵0＜q＜84时，L‘＞0，84＜q＜200时，L‘＜0，
∴当q=84时，L取得最大值．
解法二：L=-

1

8

q2+21q-100，(0＜q＜200)，
图象开口向下，对称轴为q=-

21

2×(- 1 8 )

=84，
且84∈（0，200），
∴q=84时，对应函数的最高点，即L取得最大值．
答：产量为84时，利润最大．

点评：本题考查函数在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点．解题时要导数和抛物线性质的灵活运用．本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．