题目内容

数列{an}中a1=1，an+1=an+n，则
lim
n→∞
an
n2
=
 
．
分析：条件即 an+1-an=n，用累加法求出数列的通项公式，再化简
an
n2
 的结果，使用数列极限的运算法则进行计算．
解答：解：∵a1=1，an+1=an+n，∴an+1-an=n，
∴a2-1=1，a3-a2=2，a4-a3=3，a5-a4=4，…an-an-1=n-1，
累加可得：an-1=1+2+3+4+…+（n-1）=
n(n-1)
2
=
n2-n
2
，
∴an=
n2-n+2
2
，∴
an
n2
=
n2-n+2
2n2
=
1
2
-
1
2n
+
1
n2
，
∴
lim
n→∞
an
n2
=
lim
n→∞
 （
1
2
-
1
2n
+
1
n2
）=
1
2
-0-0=
1
2
，
故答案为：
1
2
．
点评：本题考查用累加法求数列的通项公式，以及数列极限的运算法则的应用．
练习册系列答案
相关题目
数列{an}中a1=2，an+1=
1
2
(an+
1
an
)，{bn}中bn • log9
an+1
an-1
=1，n∈N*．求证：数列{bn}为等比数列，并求出其通项公式；
下面几种推理过程是演绎推理的是（　　）
数列{an} 中a1=
1
2
，前n项和Sn满足Sn+1-Sn=(
1
2
)n+1（n∈N*）．
（ I ） 求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn；
（Ⅱ）记  bn=
n+1
2an
（n∈N*）求数列{bn} 的前n项和Tn；
（Ⅲ）试确定Tn与
5n
4n+2
（n∈N*）的大小并证明．
在数列{an}中a1=1，an+1=an+
1
n2+n
，则an=
2n-1
n
2n-1
n
．
已知函数f（x）=
1
x2
+4（x≠0），各项均为正数的数列{an}中a1=1，
1
an+12
=f（an）（n∈N+）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足：?n∈N+，bn=
a
2
n
(3n-1)
a
2
n
+n
，Sn为数列{bn}的前n项和，若Sn＞a对?n∈N+恒成立，求实数a的取值范围．

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