Question

已知z²=3+4i，求z³-6z+

24

z

的值．

Answer 1

分析：设z=a+bi，则 z²=a²-b²+2abi=3+4i，解方程求出a、b的值，可得z的值，代入要求的式子化简求得结果

解答：解：设z=a+bi，a，b∈R，则 z²=a²-b²+2abi=3+4i，
∴a²-b²=3，2ab=4．
解得

a=2 b=1

，或

a=-2 b=-1

，即 z=2+i，或 z=-2-i．
又 z³-6z+

24

z

=

z4-6z2+24

z

=

-1

z

．
当z=2+i时，z³-6z+

24

z

=

-1

z

=

-1

2+i

=

-1×(2-i)

(2+i)(2-i)

=-

2

5

+

1

5

i．
当z=-2-i时，z³-6z+

24

z

=

-1

z

=

-1

-2-i

=

1

2+i

=

(2-i)

(2+i)(2-i)

=

2

5

-

1

5

i．

点评：本题主要考查两个复数代数形式的混合运算，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．