Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a_n是S_n与2的等差中项，数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项a_n，b_n；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为B_n，比较

1

B1

+

1

B2

+…

1

Bn

与2的大小．

Answer 1

分析：（I）由于a_n是S_n与2的等差中项，可得2a_n=S_n+2，利用当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出a_n与a_n-1的关系，再利用等比数列的通项公式即可得出．由于点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，可得b_n-b_n+1+2=0即：b_n+1-b_n=2，再利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）利用等差数列的前n项和公式可得B_n，再利用“放缩法”和“裂项求和”即可证明．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n是S_n与2的等差中项，∴2a_n=S_n+2 …①
当n=1时，a₁=2；
n≥2时，2a_n-1=S_n-1+2   …②；
∴由①-②得：a_n=2a_n-1
∴{a_n}是一个以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴an=2n．
又∵点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，
∴b_n-b_n+1+2=0即：b_n+1-b_n=2，
又b₁=1，∴{b_n}是一个以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴b_n=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：B_n=

n(2n-1+1)

2

=n²．
∴

1

Bn

=

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

(n≥2)，
∴

1

B1

+

1

B2

+…+

1

Bn

=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)
=2-

1

n

＜2．

点评：本题考查了“当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”求a_n、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“放缩法”和“裂项求和”，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．