Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=（m+1）-ma_n对于任意的正整数n都成立，其中m为常数，且m＜-1．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设数列{a_n}的公比q=f（m），数列{b_n}满足：，b_n=f（b_n-1）（n≥2，n∈N），求证：数列{}是等差数列，并求数列{b_nb_n+1}的前n项和．

Answer 1

解：（1）由已知S_n=（m+1）-ma_n；
S_n+1=（m+1）-ma_n+1，
相减，得：a_n+1=ma_n-ma_n+1，
即=，
所以{a_n}是等比数列
（2）当n=1时，a₁=m+1-ma₁，
则a₁=1，
从而b₁=，
由（1）知q=f（m）=，
所以b_n=f（b_n-1）=（n≥2）
∴=1+，
∴数列{}是首项为，公差为1的等差数列
∴=3+（n-1）=n+2，
故：bn= （n≥1），
∴{b_nb_n+1==；
∴数列{b_nb_n+1}的前n项和A=（-）+（-）+…+（-）=-=．
分析：（1）由S_n=（m+1）-ma_n可得S_n+1=（m+1）-ma_n+1，两式相减整理后即可证得{a_n}是等比数列；
（2）由（1）可求得a₁，从而可得b₁，由q=f（m）=；得b_n=f（b_n-1）=；两边取倒数即可得到数列{}是等差数列；进而求出其通项，再利用裂项法求出数列{b_nb_n+1}的前n项和即可．
点评：本题考查数列的求和，难点在于求b_n，着重考查学生裂项法求和，属于中档题．