Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=an-

1

n(n+1)

则数列{a_n}的通项公式a_n=

 

．

Answer 1

分析：将a_n+1=an-

1

n(n+1)

移向，再裂项，利用累加法求a_n．

解答：解：a_n+1=an-

1

n(n+1)

，an+1 -an=-

1

n(n+1)

=

1

n+1

-

1

n

a2-a1= 

1

2

-1
a3-a2=

1

3

-

1

2

…
an-an-1= 

1

n

-

1

n-1

（n≥2）
以上各式相加得
an-a1=

1

n

-1
又a₁=2，所以a_n=

1

n

+1=

n+1

n

且当n=1时也成立．
∴a_n=

n+1

n

故答案为：

n+1

n

点评：本题考查数列的递推公式，数列通项求解，考查变形构造，转化、计算能力．求解过程用到了裂项和累加的方法．