Question

2．已知函数f（x）=ax²-x+2a-1（a＞0）．
（1）当a=1时，求f（x）在区间[1，2]上的值域；
（2）设函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式；
（3）设函数h（x）=（$\frac{1}{2}$）^x+log₂$\frac{1}{x+1}$，若对任意x₁，x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥h（x₂）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将f（x）配方，求出对称轴，可得区间[1，2]为增区间，即可得到所求值域；
（2）求出f（x）的对称轴，讨论区间和对称轴的关系，由单调性可得最小值；
（3）运用指数函数和对数函数的单调性，可得h（x）在[1，2]递减，h（1）为最大值，即有ax²-x+2a-1≥-$\frac{1}{2}$在[1，2]恒成立，即有a≥$\frac{x+\frac{1}{2}}{{x}^{2}+2}$在[1，2]恒成立，运用导数求得右边函数的最大值，即可得到a的范围．

解答 解：（1）f（x）=x²-x+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
对称轴为x=$\frac{1}{2}$，区间[1，2]在对称轴的右边，
即为增区间，x=1处取得最小值1，x=2处取得最大值为3，
则值域为[1，3]；
（2）函数f（x）=ax²-x+2a-1（a＞0）的对称轴为x=$\frac{1}{2a}$，
当$\frac{1}{2a}$≤1即a≥$\frac{1}{2}$时，[1，2]为增区间，g（a）=f（1）=3a-2；
当1＜$\frac{1}{2a}$＜2，即$\frac{1}{4}$＜a＜$\frac{1}{2}$时，最小值g（a）=f（$\frac{1}{2a}$）=$\frac{8{a}^{2}-4a-1}{4a}$；
当$\frac{1}{2a}$≥2即a≤$\frac{1}{4}$时，[1，2]为减区间，最小值g（a）=f（2）=6a-3．
综上可得g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{6a-3，0＜a≤\frac{1}{4}}\\{\frac{8{a}^{2}-4a-1}{4a}，\frac{1}{4}＜a＜\frac{1}{2}}\\{3a-2，a≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
（3）h（x）=（$\frac{1}{2}$）^x+log₂$\frac{1}{x+1}$在[1，2]上递减，
x=1处取得最大值$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$，
由题意可得ax²-x+2a-1≥-$\frac{1}{2}$在[1，2]恒成立，
即有a≥$\frac{x+\frac{1}{2}}{{x}^{2}+2}$在[1，2]恒成立，
由m（x）=$\frac{x+\frac{1}{2}}{{x}^{2}+2}$的导数为$\frac{-{x}^{2}-x+2}{（{x}^{2}+2）^{2}}$=$\frac{-（x+2）（x-1）}{（{x}^{2}+2）^{2}}$＜0在[1，2]恒成立，
即有m（x）在[1，2]递减，
当x=1时，取得最大值，且为$\frac{1}{2}$；
则有a≥$\frac{1}{2}$．
即为a的取值范围是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查二次函数的最值的求法，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用单调性求得最值，考查运算能力，属于中档题．